Informática, Telemática y Edumática

Informática y Matemática

El desarrollo en la computación, la Tecnología de la Informática y las Comuniciones (TIC), así como Internet abren un munco nuevo de posibilidades, que tiene un gran impacto en la enseñanza de la Matemática.
La introducción de la computadora en la enseñanza impone una revolución profunda tanto en los métodos de la didáctica en general y particular en la didactica de la Matemática, definiendo un nuevo rol y función al profesor.
La Informática es la ciencia aplicada que abarca el estudio y aplicación del tratamiento automático de la información, utilizando sistemas computacionales, generalmente implementados como dispositivos electrónicos. También está definida como el procesamiento automático de la información.

Conforme a ello, los sistemas informáticos deben realizar las siguientes tres tareas básicas:

Entrada: captación de la información.

Proceso: tratamiento de la información.

Salida: transmisión de resultados.

En los inicios del procesado de información, con la informática sólo se facilitaban los trabajos repetitivos y monótonos del área administrativa. La automatización de esos procesos trajo como consecuencia directa una disminución de los costes y un incremento en la productividad.

En la informática convergen los fundamentos de las ciencias de la computación, la programación y metodologías para el desarrollo de software, la arquitectura de computadores, las redes de computadores, la inteligencia artificial y ciertas cuestiones relacionadas con la electrónica. Se puede entender por informática a la unión sinérgica de todo este conjunto de disciplinas.

Esta disciplina se aplica a numerosas y variadas áreas del conocimiento o la actividad humana, como por ejemplo: gestión de negocios, almacenamiento y consulta de información, monitorización y control de procesos, industria, robótica, comunicaciones, control de transportes, investigación, desarrollo de juegos, diseño computarizado, aplicaciones/herramientas multimedia, medicina, biología, física, química, meteorología, ingeniería, arte, etc. Una de la aplicaciones más importantes de la informática es proveer información en forma oportuna y veraz, lo cual, por ejemplo, puede tanto facilitar la toma de decisiones a nivel gerencial (en una empresa) como permitir el control de procesos críticos.

Actualmente es difícil concebir un área que no use, de alguna forma, el apoyo de la informática. Ésta puede cubrir un enorme abanico de funciones, que van desde las más simples cuestiones domésticas hasta los cálculos científicos más complejos.

Entre las funciones principales de la informática se cuentan las siguientes:

Creación de nuevas especificaciones de trabajo.

Desarrollo e implementación de sistemas informáticos.

Sistematización de procesos.

Optimización de los métodos y sistemas informáticos existentes.

Telemática y Matemática

La Telemática es una disciplina científica y tecnológica que surge de la evolución y fusión de la telecomunicación y de la informática. Dicha fusión ha traído el desarrollo de tecnologías que permiten desde realizar una llamada telefónica en la cima del monte Elbrus a un abonado en la selva amazónica, enviar un vídeo en 3D por Internet, o hasta recibir imágenes de una sonda que orbita alrededor de un planeta distante.

La Telemática cubre un campo científico y tecnológico de una considerable amplitud, englobando el estudio, diseño, gestión y aplicación de las redes y servicios de comunicaciones, para el transporte, almacenamiento y procesado de cualquier tipo de información (datos, voz, vídeo, etc.), incluyendo el análisis y diseño de tecnologías y sistemas de conmutación. La Telemática abarca entre otros conceptos los siguientes planos funcionales:

• El plano de usuario, donde se distribuye y procesa la información de los servicios y aplicaciones finales;
• El plano de señalización y control, donde se distribuye y procesa la información de control del propio sistema, y su interacción con los usuarios;
• El plano de gestión, donde se distribuye y procesa la información de operación y gestión del sistema y los servicios, y su interacción con los operadores de la red.

Cada uno de los planos se estructura en subsistemas denominados entidades de protocolo, que a su vez se ubican por su funcionalidad en varios niveles. Estos niveles son agrupaciones de funcionalidad, y según el Modelo de interconexión de sistemas abiertos (OSI) de la Organización Internacional para la Estandarización (ISO) se componen de: nivel físico, nivel de enlace, nivel de red, nivel de transporte extremo a extremo, nivel de sesión, nivel de presentación y nivel de aplicación.

Trata también servicios como la tele-educación, el comercio electrónico (e-commerce) o la administración electrónica (e-government), servicios Web, TV digital, la conmutación y la arquitectura de conmutadores, y también toca temas como el análisis de prestaciones, modelado y simulación de redes: optimización, planificación de la capacidad, ingeniería de tráfico y diseño de redes.

Otra modalidad es encontrarla focalizada en una actividad específica como Telemática Educativa en donde se desarrolla el uso de los recursos telemáticos dirigidos a la Educación; entre ellos la comunicación interactiva, la distribución de la información y el uso pedagógico de los servicios.

Edumática y Matemática

La Edumática es conocida generalmente  como la relación entre Educación e informática, y esta última como el procesamiento automatizado de la información. Hoy por hoy esta idea de educación más informática se enriquece con la aparición de la telemática,  es decir la telecomunicación automatizada,   cuyo eje principal  puede considerarse a la telecomunicación. Alrededor de la articulación entre informática y telemática existen varias propuestas para designarlos, entre estos están la teleinformática y la infotelemática, estas denominaciones designan a los procesos que se logran vinculando a los equipos informáticos y equipos telecomunicacionales.

Con la intención de simplificar este análisis,  puede verse como elemento común entre la informática y la telemática    la idea de  “automatización” y que la telemática supone la existencia de la informática. Entonces  orientado en este sentido se puede tomar también a la Edumática como la relación entre Educación y Telemática, perspectiva  más adecuada por las aclaraciones expuestas.

Un aspecto importante de aclarar  en  la relación Educación y Telemática es la perspectiva con la que se le puede enfocar, esta no puede ser otra que la pedagógica. Por ejemplo preguntarse como docentes: ¿Cómo puede la telemática potenciar, complementar, expandir, generar y afianzar los procesos de aprendizaje y desarrollo de conocimientos de todos los participantes del proceso educativo?.

Aplicación de las Derivadas Parciales a la Ciencia

Derivadas Parciales:

Derivadas Parciales

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

df/dx = d_xf = f’_x

Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

A = f (x, y, z,…)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

 

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN ADMINISTRACION Y ECONOMIA

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía, dentro de las cuales incluiremos el costo marginal, análisis marginal, la superficie de demanda, las funciones de producción, el teorema de euler, demanda marginal, elasticidad parcial d ela demanda, productividad marginal.

a)    COSTO MARGINAL.- El costo marginal por unidad es la razón (instantánea) de cambio del costo total con respecto a la producción, esto es:

Costo Marginal = derivada del costo total

Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes esta dado por: c = Q(x,y), entonces las derivadas parcial de c son las funciones de costo marginal, así:

NOTA.- En la mayor parte de los problemas económicos los costos marginales son positivos.

Ejemplo:

En la función de costo de producción dos artículos x e y es C=Q(x,y)=x²y²-3xy+y+8, determinar el costo marginal con respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.

Desarrollo

Esto quiere decir, si y se mantiene constante 4, al producir una unidad adicional de x, agregara 84 unidades, la producción de una unidad adicional de y, aumentara 64 unidades monetarias al costo total.

b)    ANALISIS MARGINAL.- El término “análisis marginal” en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables (similar al caso de las funciones de una variable).

Ejemplo:

Supongamos que la producción diaria Q de una fabrica depende de la cantidad k de capital invertido (medido en unidades de 1000 dólares) en la fábrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horas – trabajador).

En economía las derivadas parciales dQ/dk y dQ/dL se conoce como los productos marginales del capital y del trabajo respectivamente. De interpretaciones económicas de esos dos productos marginales.

Desarrollo

dQ/dL = el producto marginal del trabajo que es el ritmo al que cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo k de capital invertido, por lo tanto dQ/dL es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el capital invertido se deja fijo y el trabajo se aumenta en una hora-trabajador.

En forma similar, dQ/dk = producto marginal del capital es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el capital invertido se aumenta en 1000 dólares.

APLICACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES A LA FISICA MATEMATICA

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:

Ecuación de Difusión del Calor:

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de onda:

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de Laplace:

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico.

Ecuación de Poisson:

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea.

Superficies: Cónicas y Cuádricas

Superficies Conicas

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Clasificación

Se denominan:

ü Cono recto, si el vértice equidista de la base circular

ü Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base

ü Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.

La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.

Área de la superficie cónica

El área  de la superficie del cono recto es:

A  =  A _Base + A _Lateral  =  πr² + πrg

Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base; su longitud es:





Desarrollo plano de un cono recto

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de:

Donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que esta sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

Ángulo = 360 ( r / a )

Volumen de un cono

El volumen de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

La ecuación se obtiene mediante:

Donde A_(x) es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura h, en este caso.

Secciones cónicas

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

X(θ.t)  =  ( a . t . Cos(θ) , b . t . Sen(θ) , c . t )

Que es llamada parametrización del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta ( t , 0 , ct/a ) respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro).

Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

Observación: en la ecuación de segundo grado

deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos xy, xz y yz, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

Elipsoide

La gráfica de la ecuación:

Corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en (±a,0,0), (0,±b,0) y (0,0,±c). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse.

Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación

Es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o y = k son parábola.

Paraboloide hiperbólico

La gráfica de la ecuación:

Es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son hipérbolas o dos rectas  (z = 0). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano xz son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano yz son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar.

Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

Es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.

Hiperboloide de una hoja

La gráfica de la ecuación:

Es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son elipses

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan.

Hiperboloide de dos hojas

La gráfica de la ecuación:

Es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas.