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Derivadas Parciales:

Derivadas Parciales

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

df/dx = d_xf = f’_x

Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

A = f (x, y, z,…)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN ADMINISTRACION Y ECONOMIA

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía, dentro de las cuales incluiremos el costo marginal, análisis marginal, la superficie de demanda, las funciones de producción, el teorema de euler, demanda marginal, elasticidad parcial d ela demanda, productividad marginal.

a) COSTO MARGINAL.- El costo marginal por unidad es la razón (instantánea) de cambio del costo total con respecto a la producción, esto es:

Costo Marginal = derivada del costo total

Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes esta dado por: c = Q(x,y), entonces las derivadas parcial de c son las funciones de costo marginal, así:

NOTA.- En la mayor parte de los problemas económicos los costos marginales son positivos.

Ejemplo:

En la función de costo de producción dos artículos x e y es C=Q(x,y)=x²y²-3xy+y+8, determinar el costo marginal con respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.

Desarrollo

Esto quiere decir, si y se mantiene constante 4, al producir una unidad adicional de x, agregara 84 unidades, la producción de una unidad adicional de y, aumentara 64 unidades monetarias al costo total.

b) ANALISIS MARGINAL.- El término “análisis marginal” en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables (similar al caso de las funciones de una variable).

Ejemplo:

Supongamos que la producción diaria Q de una fabrica depende de la cantidad k de capital invertido (medido en unidades de 1000 dólares) en la fábrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horas – trabajador).

En economía las derivadas parciales dQ/dk y dQ/dL se conoce como los productos marginales del capital y del trabajo respectivamente. De interpretaciones económicas de esos dos productos marginales.

Desarrollo

dQ/dL = el producto marginal del trabajo que es el ritmo al que cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo k de capital invertido, por lo tanto dQ/dL es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el capital invertido se deja fijo y el trabajo se aumenta en una hora-trabajador.

En forma similar, dQ/dk = producto marginal del capital es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el capital invertido se aumenta en 1000 dólares.

APLICACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES A LA FISICA MATEMATICA

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:

Ecuación de Difusión del Calor:

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de onda:

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de Laplace:

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico.

Ecuación de Poisson:

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea.